Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 22000 & 45000 \\ 18000 & 27000 \end{array}]$

Étape 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Étape 2

Find the determinant.

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Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$22000 \cdot 27000 - 18000 \cdot 45000$

Étape 2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $22000$ par $27000$ .

$594000000 - 18000 \cdot 45000$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $- 18000$ par $45000$ .

$594000000 - 810000000$

Étape 2.2.2

Soustrayez $810000000$ de $594000000$ .

$- 216000000$

Étape 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Étape 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 216000000} [\begin{array}{c} 27000 & - 45000 \\ - 18000 & 22000 \end{array}]$

Étape 5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{216000000} [\begin{array}{c} 27000 & - 45000 \\ - 18000 & 22000 \end{array}]$

Étape 6

Multipliez $- \frac{1}{216000000}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{216000000} \cdot 27000 & - \frac{1}{216000000} \cdot - 45000 \\ - \frac{1}{216000000} \cdot - 18000 & - \frac{1}{216000000} \cdot 22000 \end{array}]$

Étape 7

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun de $27000$ .

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Étape 7.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{216000000}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{216000000} \cdot 27000 & - \frac{1}{216000000} \cdot - 45000 \\ - \frac{1}{216000000} \cdot - 18000 & - \frac{1}{216000000} \cdot 22000 \end{array}]$

Étape 7.1.2

Factorisez $27000$ à partir de $216000000$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{27000 (8000)} \cdot 27000 & - \frac{1}{216000000} \cdot - 45000 \\ - \frac{1}{216000000} \cdot - 18000 & - \frac{1}{216000000} \cdot 22000 \end{array}]$

Étape 7.1.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{27000 \cdot 8000} \cdot 27000 & - \frac{1}{216000000} \cdot - 45000 \\ - \frac{1}{216000000} \cdot - 18000 & - \frac{1}{216000000} \cdot 22000 \end{array}]$

Étape 7.1.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{8000} & - \frac{1}{216000000} \cdot - 45000 \\ - \frac{1}{216000000} \cdot - 18000 & - \frac{1}{216000000} \cdot 22000 \end{array}]$

Étape 7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{8000} & - \frac{1}{216000000} \cdot - 45000 \\ - \frac{1}{216000000} \cdot - 18000 & - \frac{1}{216000000} \cdot 22000 \end{array}]$

Étape 7.3

Annulez le facteur commun de $45000$ .

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Étape 7.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{216000000}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{8000} & \frac{- 1}{216000000} \cdot - 45000 \\ - \frac{1}{216000000} \cdot - 18000 & - \frac{1}{216000000} \cdot 22000 \end{array}]$

Étape 7.3.2

Factorisez $45000$ à partir de $216000000$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{8000} & \frac{- 1}{45000 (4800)} \cdot - 45000 \\ - \frac{1}{216000000} \cdot - 18000 & - \frac{1}{216000000} \cdot 22000 \end{array}]$

Étape 7.3.3

Factorisez $45000$ à partir de $- 45000$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{8000} & \frac{- 1}{45000 \cdot 4800} \cdot (45000 \cdot - 1) \\ - \frac{1}{216000000} \cdot - 18000 & - \frac{1}{216000000} \cdot 22000 \end{array}]$

Étape 7.3.4

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{8000} & \frac{- 1}{45000 \cdot 4800} \cdot (45000 \cdot - 1) \\ - \frac{1}{216000000} \cdot - 18000 & - \frac{1}{216000000} \cdot 22000 \end{array}]$

Étape 7.3.5

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{8000} & \frac{- 1}{4800} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{216000000} \cdot - 18000 & - \frac{1}{216000000} \cdot 22000 \end{array}]$

Étape 7.4

Associez $\frac{- 1}{4800}$ et $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{8000} & \frac{- - 1}{4800} \\ - \frac{1}{216000000} \cdot - 18000 & - \frac{1}{216000000} \cdot 22000 \end{array}]$

Étape 7.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{8000} & \frac{1}{4800} \\ - \frac{1}{216000000} \cdot - 18000 & - \frac{1}{216000000} \cdot 22000 \end{array}]$

Étape 7.6

Annulez le facteur commun de $18000$ .

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Étape 7.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{216000000}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{8000} & \frac{1}{4800} \\ \frac{- 1}{216000000} \cdot - 18000 & - \frac{1}{216000000} \cdot 22000 \end{array}]$

Étape 7.6.2

Factorisez $18000$ à partir de $216000000$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{8000} & \frac{1}{4800} \\ \frac{- 1}{18000 (12000)} \cdot - 18000 & - \frac{1}{216000000} \cdot 22000 \end{array}]$

Étape 7.6.3

Factorisez $18000$ à partir de $- 18000$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{8000} & \frac{1}{4800} \\ \frac{- 1}{18000 \cdot 12000} \cdot (18000 \cdot - 1) & - \frac{1}{216000000} \cdot 22000 \end{array}]$

Étape 7.6.4

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{8000} & \frac{1}{4800} \\ \frac{- 1}{18000 \cdot 12000} \cdot (18000 \cdot - 1) & - \frac{1}{216000000} \cdot 22000 \end{array}]$

Étape 7.6.5

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{8000} & \frac{1}{4800} \\ \frac{- 1}{12000} \cdot - 1 & - \frac{1}{216000000} \cdot 22000 \end{array}]$

Étape 7.7

Associez $\frac{- 1}{12000}$ et $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{8000} & \frac{1}{4800} \\ \frac{- - 1}{12000} & - \frac{1}{216000000} \cdot 22000 \end{array}]$

Étape 7.8

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{8000} & \frac{1}{4800} \\ \frac{1}{12000} & - \frac{1}{216000000} \cdot 22000 \end{array}]$

Étape 7.9

Annulez le facteur commun de $2000$ .

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Étape 7.9.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{216000000}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{8000} & \frac{1}{4800} \\ \frac{1}{12000} & \frac{- 1}{216000000} \cdot 22000 \end{array}]$

Étape 7.9.2

Factorisez $2000$ à partir de $216000000$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{8000} & \frac{1}{4800} \\ \frac{1}{12000} & \frac{- 1}{2000 (108000)} \cdot 22000 \end{array}]$

Étape 7.9.3

Factorisez $2000$ à partir de $22000$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{8000} & \frac{1}{4800} \\ \frac{1}{12000} & \frac{- 1}{2000 \cdot 108000} \cdot (2000 \cdot 11) \end{array}]$

Étape 7.9.4

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{8000} & \frac{1}{4800} \\ \frac{1}{12000} & \frac{- 1}{2000 \cdot 108000} \cdot (2000 \cdot 11) \end{array}]$

Étape 7.9.5

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{8000} & \frac{1}{4800} \\ \frac{1}{12000} & \frac{- 1}{108000} \cdot 11 \end{array}]$

Étape 7.10

Associez $\frac{- 1}{108000}$ et $11$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{8000} & \frac{1}{4800} \\ \frac{1}{12000} & \frac{- 1 \cdot 11}{108000} \end{array}]$

Étape 7.11

Multipliez $- 1$ par $11$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{8000} & \frac{1}{4800} \\ \frac{1}{12000} & \frac{- 11}{108000} \end{array}]$

Étape 7.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{8000} & \frac{1}{4800} \\ \frac{1}{12000} & - \frac{11}{108000} \end{array}]$